1ª Prova

1. (3,0) Considere um sistema de $N$ partículas em que cada uma pode ocupar apenas dois estados não degenerados de energias $e_1=0$ e $e_2=\epsilon$. Este tipo de sistema é conhecido na Mecânica Quântica e é utilizado para estudos de quiralidade, na molécula de amônia, sistemas de spins, etc. (a) Se a energia total do sistema é $E=m\epsilon$, onde $m$ é um número inteiro, obtenha a expressão para $\Omega(E)$. (b) Use a aproximação de Stirling $(\ln n! \approx n\ln n -n)$ e encontre qual o valor de $E$ para qual $\Omega(E)$ é máximo.
   1. $\Omega(m) = N!/m!(N-m)! \longrightarrow \Omega(E) = N! /(E/\epsilon)!(N-E/\epsilon)!$.
   2. $\ln\Omega(m)=N\ln N - N - m\ln m +m -(N-m)\ln(N-m) + (N-m)= N\ln N/(N-m) - m \ln(N-m)/m$.

Para achar o máximo $\frac{d}{d m}\Omega = - 1 - \ln m + 1 + \ln (N-m)$ que se anula para $m=N/2$ ou $E=N/2\epsilon$.

1. (2,0) Durante várias gerações, a enorme população de SimNation tem sido mantida constante. Curiosamente, todas as pessoas de SimNation se casam. Qual a probabilidade de um casal ter filhos ? E mais do que dois filhos ?
   1. Para que a população se mantenha constante, é preciso que cada habitante gere um descendente. Logo o número médio de filhos por casal deve ser 2. Como a população é grande, podemos usar a distribuição de Poisson. A probabilidade de um casal não ter filhos será $p(0) = \frac{2^0}{0!}e^{-2} = e^{-2}$. A probabilidade de um casal ter filhos é $1-p(0)$. A probabilidade de ter mais que dois filhos é $1-p(0)-p(1)-p(2)=1-(1+2+4) e^{-2}=1-7e^{-2}$.
2. (1,0) Sabendo que $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\pi/a}$, calcule a média e a dispersão para a distribuição de probabilidades $p(x) \propto e^{(x-a)^2/2\sigma^2}$.
3. (3,0) Para um gás de partículas sem massa, como fótons e fônons, a relação entre energia e momento é dada por $\varepsilon=pc$. Obtenha $\Omega(E)$ para um gás de $N$ partículas com massa de repouso nula, em um volume $V$.
4. (1,0) Comente as distribuições binomial, Poisson e normal. Apresente exemplos reais de cada uma delas, quando se aplicam e seus casos limites.